ABSTAND ZWEIER PUNKTE BERECHNEN

Auf dies Seite leiten wir die Formel für den Abstand herstellung und rechnen drei Beispiele: Abstand zwei Punkte; einer Koordinate eines Punktes an gegebenem Abstand gesucht; Punkte an einer Geraden in gegebenem Abstand gesucht. Das letzte beispiel setzt voraus, dass sie bereits das Gleichung einen Geraden kennen.

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Herleitung ns Formel

Gesucht ist das Abstand zwei Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$ im dreidimensionalen Raum. von Herleitung der Formel denken wir uns die Punkte zusammen Eckpunkte einer achsenparallelen Quaders im kartesischen Koordinatensystem. Der Abstand der beide Punkte entspricht dann der Länge der Raumdiagonale:

*

Die Kantenlängen ns Quaders entsprechen ns Koordinatendifferenzen (genau genommen jeweils dem betrag der Koordinatendifferenzen, da drüben Seitenlängen nicht negativ sind). Da der Quader achsenparallel verläuft, stehen alle Kanten senkrecht aufeinander. Ns Dreiecke $PAB$ und $PBQ$ sind deshalb rechtwinklig, so dass wir von Berechnung ns Flächendiagonale $d$ und ns Raumdiagonale $|overrightarrowPQ|$ ns Satz des Pythagoras genutzt können.

Wir möchten ns Raumdiagonale berechnen, die die Hypotenuse innerhalb Dreieck $PBQ$ bildet:

$color#f00overrightarrowPQ^2=color#f61d^2+color#1a1a_3^2$

Die Flächendiagonale $d$ ist die Hypotenuse in dem Dreieck $PAB$:

$color#f61d^2=color#18fa_1^2+color#a61a_2^2$

Wir setzen das zweite Gleichung an die erste einer und ersetzen ns $a_i$ durch die Koordinatendifferenzen:

$eginalign*color#f00overrightarrowPQ^2&=color#18fa_1^2+color#a61a_2^2+color#1a1a_3^2\&=(color#18fq_1-p_1)^2+(color#a61q_2-p_2)^2+(color#1a1q_3-p_3)^2endalign*$

Ziehen wir gut noch ns Wurzel, so erhalten wir ns Formel:


Zwei Punkte $P(p_1|p_2|p_3)$ und $Q(q_1|q_2|q_3)$ in dem dreidimensionalen raum $mathbb R^3$ haben ns Abstand

<|overrightarrowPQ|=sqrt(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2>


Es zu sein die Koordinaten ns Verbindungsvektors $overrightarrowPQ=vec q-vec p=eginpmatrixq_1-p_1\q_2-p_2\q_3-p_3endpmatrix$, die quadriert werden. Das ist nicht gerade selten ns Fall, dass sie diesen Vektor bei zusammengesetzten aufgaben benötigen, machen es wichtig ist, zunächst das Vektor zu berechnen. Auf jeden fall ist es übersichtlicher.

Gelegentlich findet man in der Formel das Koordinaten vertauscht, deshalb zum beispiel $(p_1-q_1)^2$. Innerhalb der Klammern dreht sich durch dies jeweils das Vorzeichen um, und da $(-a)^2=a^2$ erhält man natürlich ebenfalls ns richtige Ergebnis. Lerntechnisch halte ich dies für kleiner geschickt: die Struktur „Ende minus Anfang“ kommt an der Schulmathematik so häufig vor, dass man nur mit gutem Grund über dieser richtung abweichen sollte.

Beispiele

Beispiel 1: gefunden ist ns Abstand der Punkte $P(1|3|-2)$ und $Q(-4|2|5)$.

Lösung: uns berechnen zuerst das Verbindungsvektor und nachher den Abstand:

$eginalign*overrightarrowPQ&=eginpmatrix-4\2\5endpmatrix-eginpmatrix1\3\-2endpmatrix=eginpmatrix-5\-1\7endpmatrix\|overrightarrowPQ|&= sqrt(-5)^2+(-1)^2+7^2=sqrt25+1+49=sqrt75approx 8,66 ext LEendalign*$

„LE“ stand für ns hier unbekannte Längeneinheit, also zum beispiel m, cm, km.

Was passiert, wenn man ns Punkte vertauscht?

$eginalign*overrightarrowQP&=eginpmatrix1\3\-2endpmatrix-eginpmatrix-4\2\5endpmatrix=eginpmatrix5\1\-7endpmatrix\|overrightarrowQP|&= sqrt5^2+1^2+(-7)^2=sqrt25+1+49=sqrt75approx 8,66 ext LEendalign*$

Im Verbindungsvektor ändern sich alle Vorzeichen. Wegen des Quadrierens macht das keinen Unterschied: ns Abstand ns Punkte ist natürlich gleich.

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Beispiel 2: ns Punkte $P(-2|2|1)$ und $Q(4|u|3)$ sollen das Abstand 7 haben. Wie muss $u$ ausgewählt werden?

Lösung: ns Verbindungsvektor enthält eine Unbekannte:

$eginalign*overrightarrowPQ&=eginpmatrix4\u\3endpmatrix-eginpmatrix-2\2\1endpmatrix=eginpmatrix6\u-2\2endpmatrix\|overrightarrowPQ|&= sqrt6^2+(u-2)^2+2^2endalign*$

Mit das Forderung $|overrightarrowPQ|=7$ erhalten wir eine Gleichung. Einmal man ns binomische formel auflöst, lässt sich die Gleichung mithilfe der $pq$-Formel lösen. Das geht aber auch direkt:

$eginalign*sqrt6^2+(u-2)^2+2^2 &=7 & & |(ldots)^2\36+(u-2)^2+4 &=49 & & |-36-4\(u-2)^2 &=9 & & |sqrtphantom9\u-2 &=3 & & ext oder &u-2&=-3 & |+2\u_1 &=5 & & &u_2&=-1\endalign*$

Die Punkte $Q_1(4|5|3)$ und $Q_2(4|-1|3)$ komplett somit ns Bedingung. Ns Verbindungsvektoren $overrightarrowPQ_1=eginpmatrix6\3\2endpmatrix$ und $overrightarrowPQ_2=eginpmatrix6\-3\2endpmatrix$ unterscheiden wir nur an der mittleren Koordinate, und auch dort anzeigen im Vorzeichen.

Die nachdem Skizze stellt das Situation graphisch därne (zur Hilfe am Vorstellung zu sein einer ns Quader eingezeichnet).

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Auch ns Fragestellung „Welcher anzeige auf das $x$-Achse hat von … den Abstand …“ beruht in dem gleichberechtigung Muster, dort zwei Koordinaten jeder weiß sind ($y=0,z=0$).

Beispiel 3: was Punkte ns Geraden $g:vec x=eginpmatrix1\0\1endpmatrix+reginpmatrix1\-1\0endpmatrix$ jawohl vom anhaltspunkte $P(-3|-1|0)$ den Abstand $d=3sqrt2$?

Lösung: Wir eingeordnet den anhaltspunkte $Q(1+r|-r|1)$ der Geraden allgemein mithilfe ns Parameters darum und gehen als oben vor:

$eginalign*overrightarrowPQ&=eginpmatrix1+r\-r\1endpmatrix-eginpmatrix-3\-1\0endpmatrix=eginpmatrixr+4\-r+1\1endpmatrix\|overrightarrowPQ|&= sqrt(r+4)^2+(-r+1)^2+1^2endalign*$

Da ns Unbekannte in zwei eingeordnet vorkommt, müssen die Klammern gelöst werden. In dem Verlauf der Rechnung entfällt ns absolute Glied, sodass ns quadratische Gleichung aufgrund Ausklammern gelöst werden kann:

$eginalign*sqrt(r+4)^2+(-r+1)^2+1^2&=3sqrt 2 & & |(ldots)^2\r^2+8r+16+r^2-2r+1+1&=18\2r^2+6r+18&=18 & &|-18\2r^2+6r&=0 \r(2r+6)&=0 \r_1&=0 & & ext hagen & 2r+6&=0 & &|-6\& & & & 2r&=-6 & &|:2\& & & & r_2&=-3 \endalign*$

Wir setzen ns Werte an $Q$ ein und bekommt die Koordinaten $Q_1(1|0|1)$ und $Q_2(-2|3|1)$ das gesuchten Punkte. Sogar hierzu sonstiges eine Zeichnung:

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Man darf sich von der Zeichnung nicht verunsichern lassen: das Punkte an der Geraden scheinen eine unterschiedliche Entfernung von $P$ kommen sie haben, doch das liegt nur am Schrägbild, ns die Größen verzerrt darstellt.

Es gibt einer weitere Herangehensweise an die Aufgabe: man angeklagt die Schnittpunkte der Geraden $g$ mit der co mit mittelpunkt $P$ und Radius $d$. Der Rechenweg ist fast identisch.

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Übungsaufgaben

Letzte Aktualisierung: 02.12.2015; © Ina außerdem Brabandt

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